如何比较整点的大小（排序）？

提问

当我知道复数是无法比较大小的时候，我就怀疑这个命题了，如果我能从复数映射到实数，并且从实数映射到复数：
$\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{R}\\ \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}$

也就是任意的复数都有一个实数与之一一对应，那我就可以利用实数的性质将所有复数进行排序了，这就可以比较复数大小了。我们知道复数可以与平面上的点一一对应，经过我的思考，我想了一个办法，利用等速螺线：

如图，从原点出发，沿着螺旋线运动，我们用不等号做记号，排序先到达的点和后到达的点，如图是先到达 $A$ 点，后到达 $B$ 点，也就是 $A<B$ ，这样我就可以将螺旋线上的所有点排序了。

但当我仔细思考，平面上点是稠密的，如果我想排序所有的点，那螺旋线就得无限密集，这显然是做不到的。

我又开始思考，既然平面上的所有点无法排序，那平面上的整点能否排序呢？
我第一时间想到的当然还是螺旋，不过是方形的螺旋：

如图，这样我就可以用方形的螺旋线顺次将平面内所有的整点连接，从原点出发，按照先后顺序将所有的整点映射到整数（整数就是从原点出发沿着方形螺旋线运动的路程）。如图 $A (0, 0)\rightarrow 0 ， B (1, 0) \rightarrow 1 ， E (-1, -1) \rightarrow 6$ 。所有的整数与平面上的整点一一对应，也就可以将所有整点排序了，$D$ 在 $E$ 的前面，这里可以用记号表示 $D<E$ ，也就是 $(-1,1)<(-1,-1)$ 。

如果整点用复数 $x+yi$ 表示，整数用 $z$ 表示，其中 $x,y,z\in\mathbb{Z}$ ，那么函数 $f(x+yi)=z$ 和其反函数 $f^{-1}(z)=x+yi$ 的映射关系是什么呢？如何用表达式表示它们呢？

解答

As your wish:

points on x-axes:
$f_x(n)=4 n^2-\left| n\right| -2 n$

points on y-axes:
$f_y(n)=4 n^2+\left| n\right| -2 n$

$x+yi\rightarrow f_{\max(x,y)}(\max(x,y))\mp\min(x,y)$ The inverse function will be more complicated:

$x_n=\sum _{i=1}^n \sin \left(\frac{ \pi}{2} (\left\lfloor \sqrt{4 i-3}\right\rfloor \bmod 4)\right)$

$y_n=-\sum _{i=1}^n \cos \left(\frac{ \pi}{2} (\left\lfloor \sqrt{4 i-3}\right\rfloor \bmod 4)\right)$

$n\rightarrow (x_n,y_n)$

说明

解答来自知乎 https://www.zhihu.com/question/296719713/answer/501579029 —— 酱紫君