【manim动画】如何求解sinx=2？

记得我很早之前就打算做一些科普视频，奈于技术不行，遂放弃。之前看过3Blue1Brown的视频，作者用他自己开发的数学可视化引擎manim制作动画，感觉效果很棒。发现知乎和B站陆陆续续有很多大佬开始使用manim做动画，于是进了一个manim交流群。开始摸索manim，实际上这个引擎的安装和环境的的搭建还挺麻烦，用manim也需要会Python和$\LaTeX$，恰好我都会，于是很快上手了。 我以为有这个引擎做数学动画很简单，但是出乎我意料，还是要不停地肝，动画的构架想好了，实现起来还是非常麻烦，这个过程及其无聊和痛苦。最后赶了一下进度，视频还是做出来了，但是有些瑕疵让我这个强迫症很不爽。

有了前面剪AMV的的经验，我很快就把视频剪好，加上动态水印，渲染，发布到B站。

视频链接：https://www.bilibili.com/video/av91565323/

manim工程文件

https://github.com/HK-SHAO/MY_MANIM_PROJECTS

进入正题

我们高中学过 $\sin x$ 的值域是 $[-1,1]$，画作图像的话，波浪线在 $[-1,1]$ 之间往复，但是怎么会与 $2$ 有交点呢？

答案是：当然没有。$\sin x=2$ 没有实数解，但是如果看作复变函数，$x\in\mathbb{C}$ 时，将 $\sin x$ 泰勒展开，它有无穷高次幂，按照代数基本定理， $\sin x=2$ 是有无穷多解的！事实确实如此，下面是极其详细的求解过程，高中生都可以看懂，我就不文字叙述了。 $\sin x=2\\\\ e^{ix}=\cos x+i\sin x\\\\ e^{-ix}=\cos x-i\sin x\\\\ e^{ix}-e^{-ix}=2i\sin x\\\\ \sin x = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\\\\ \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}=2\\\\ e^{ix}-e^{-ix}=4i\\\\ t=e^{ix}\\\\ t-\frac{1}{t}=4i\\\\ t^2-4it-1=0\\\\ t=(2\pm\sqrt3)i\\\\ e^{ix}=(2\pm\sqrt3)i\\\\ {\rm Ln}(e^{ix})={\rm Ln}[(2\pm\sqrt3)i]\\\\ ix=\ln(2\pm\sqrt3)+{\rm Ln}\ i\\\\ i\theta={\rm Ln}\ i\\\\ e^{i\theta}=\cos \theta+i\sin \theta\\\\ \cos \theta+i\sin \theta=e^{\rm{Ln \ i}}=i\\\\ \begin{cases}\cos \theta=0\\\sin \theta=1\end{cases}\\\\ \theta=(\frac{4k+1}{2})\pi,k\in \mathbb{Z}\\\\ {\rm Ln}\ i=i\theta=i\pi(\frac{4k+1}{2})\\\\ ix=\ln(2\pm\sqrt3)+i\pi(\frac{4k+1}{2})\\\\ x=(\frac{4k+1}{2})\pi-i\ln(2\pm\sqrt3),k\in \mathbb{Z}\\\\$