【manim动画】如何求解sinx=2?

记得我很早之前就打算做一些科普视频,奈于技术不行,遂放弃。之前看过3Blue1Brown的视频,作者用他自己开发的数学可视化引擎manim制作动画,感觉效果很棒。发现知乎和B站陆陆续续有很多大佬开始使用manim做动画,于是进了一个manim交流群。开始摸索manim,实际上这个引擎的安装和环境的的搭建还挺麻烦,用manim也需要会Python和LaTeX\LaTeX,恰好我都会,于是很快上手了。 我以为有这个引擎做数学动画很简单,但是出乎我意料,还是要不停地肝,动画的构架想好了,实现起来还是非常麻烦,这个过程及其无聊和痛苦。最后赶了一下进度,视频还是做出来了,但是有些瑕疵让我这个强迫症很不爽。

有了前面剪AMV的的经验,我很快就把视频剪好,加上动态水印,渲染,发布到B站。

视频链接:https://www.bilibili.com/video/av91565323/

manim工程文件

https://github.com/HK-SHAO/MY_MANIM_PROJECTS

进入正题

我们高中学过 sinx\sin x 的值域是 [1,1][-1,1],画作图像的话,波浪线在 [1,1][-1,1] 之间往复,但是怎么会与 22 有交点呢?

答案是:当然没有。sinx=2\sin x=2 没有实数解,但是如果看作复变函数,xCx\in\mathbb{C} 时,将 sinx\sin x 泰勒展开,它有无穷高次幂,按照代数基本定理, sinx=2\sin x=2 是有无穷多解的!事实确实如此,下面是极其详细的求解过程,高中生都可以看懂,我就不文字叙述了。 sinx=2eix=cosx+isinxeix=cosxisinxeixeix=2isinxsinx=eixeix2ieixeix2i=2eixeix=4it=eixt1t=4it24it1=0t=(2±3)ieix=(2±3)iLn(eix)=Ln[(2±3)i]ix=ln(2±3)+Ln iiθ=Ln ieiθ=cosθ+isinθcosθ+isinθ=eLn i=i{cosθ=0sinθ=1θ=(4k+12)π,kZLn i=iθ=iπ(4k+12)ix=ln(2±3)+iπ(4k+12)x=(4k+12)πiln(2±3),kZ \sin x=2\\\\ e^{ix}=\cos x+i\sin x\\\\ e^{-ix}=\cos x-i\sin x\\\\ e^{ix}-e^{-ix}=2i\sin x\\\\ \sin x = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\\\\ \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}=2\\\\ e^{ix}-e^{-ix}=4i\\\\ t=e^{ix}\\\\ t-\frac{1}{t}=4i\\\\ t^2-4it-1=0\\\\ t=(2\pm\sqrt3)i\\\\ e^{ix}=(2\pm\sqrt3)i\\\\ {\rm Ln}(e^{ix})={\rm Ln}[(2\pm\sqrt3)i]\\\\ ix=\ln(2\pm\sqrt3)+{\rm Ln}\ i\\\\ i\theta={\rm Ln}\ i\\\\ e^{i\theta}=\cos \theta+i\sin \theta\\\\ \cos \theta+i\sin \theta=e^{\rm{Ln \ i}}=i\\\\ \begin{cases}\cos \theta=0\\\sin \theta=1\end{cases}\\\\ \theta=(\frac{4k+1}{2})\pi,k\in \mathbb{Z}\\\\ {\rm Ln}\ i=i\theta=i\pi(\frac{4k+1}{2})\\\\ ix=\ln(2\pm\sqrt3)+i\pi(\frac{4k+1}{2})\\\\ x=(\frac{4k+1}{2})\pi-i\ln(2\pm\sqrt3),k\in \mathbb{Z}\\\\

【manim动画】如何求解sinx=2?

https://hk-shao.github.io/p/3b46.html

作者

烧风

发布于

2020-02-25

更新于

2021-07-11

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